CONJUNTOS NUMÉRICOS

Definição de Conjunto: Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem.

O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... } Relação de pertinência Sendo x um elemento do conjunto numérico A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y A.

O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: i= { x; x ≠ x} e U = {x; x = x}.

Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B. Notas: a) todo conjunto numérico é subconjunto de si próprio. ( A d A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {φ , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E FIGURADAS

sequência numérica

Uma seqüência é uma lista ordenada de objetos, numeros ou eventos^{[carece de fontes]}. Frequentemente nos deparamos com situações em que enumeramos elementos de um conjuntoseguindo uma determinada ordenação):

1. Da sucessão dos presidentes de um país;
2. Da sequência dos episódios de uma minissérie de televisão;

Repare que há dois aspectos importantes na seqüência: o tipo^{[carece de fontes]} e a ordem dos elementos. Todos os elementos de uma sucessão são do mesmo tipo^{[carece de fontes]} (por exemplo: apenas presidentes) e obedecem uma ordenação (por exemplo: primeiramente ocorre o primeiro episódio da minissérie, depois o segundo episódio, depois o terceiro episódio...).

Em matemática, uma sequência (ou uma sucessão) é uma lista (conjunto) de números (ou variáveis que os representem). Formalmente, a seqüência é uma lista cuja ordem é definida por uma "lei", uma função bijetora específica.

números figurados

Os números figurados são números que podem ser representados por uma construção geométrica de pontos equidistantes. Se o arranjo formar um polígono regular, estes números chamam-se números polígonais. São exemplos os números triangulares, quadrados , hexagonais.

Os números figurados também podem ter outras formas ou dimensões, como por exemplo, os números pentatopes ou num espaço tri-dimensional, os números tetraédricos e cubos.

TERMO GERAL DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é  e cuja imagem é  ou . 

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de  (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante . O número  é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto da subtração

Alguns exemplos de progressão aritmética:

• , em que r=3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo)\,\!.
• , em que .
• , em que .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, a_n = (a_{n − 1} + a_{n + 1}) / 2.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante  é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• , em que 

• , em que 

• , em que 

• , em que 

• , em que 

APLICAÇÕES DA P.A. E DA P.G. NA MATEMÁTICA FINANCEIRA

P.A.
A Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa diferença damos o nome de juros.
P.G.
Elas tratam de seqüências que podem representar crescimento de populações, cálculos de juros compostos, nascimento de novos galhos em uma árvore e tudo que aumente ou diminua segundo uma constante, a razão. Veremos que esta seqüência é “ mais rápida ” que a P.A tanto no crescimento como no decrescimento, pois sua razão é obtida pela divisão do termo pelo seu antecessor.